Küresel Koordinat ve Kullanım Alanı

0 32

Belirlenmiş bir noktanın yerini hayali (referans) odak noktasına göre belirleyen, şekle ve sayıya dökmek için kullanılan bir düzlem ya da düzlemler bütünüdür.Matematikte Kartezyen,silindirik ,kutupsal ve küresel gibi birçok türü vardır. Fizikte cisimlerin ve enerjiye sahip ya da sahip olmayan yönlü (vektörel) niteliklerin (dalga vb.) incelenmesinde sıkça kullanılır.İncelenebilecek cisimler evrenin uzamsal 3 boyuta sahip olduğundan 3 boyutlu koordinat dizgesi(sistemi) sıkça kullanılır.

Küresel Koordinat

Bu şekilde cismin hacim vb, 2 boyutta da alan vb. algılamamızı sağlar.İncelenecek cismin yer bilgisinin de algılanmasını sağlar.Bu yer bilgisi odak noktası olmadan belirlenemez ve algılanamaz.(Bu sebepten dolayı Einsteın’ın ortaya koymuş olduğu izafiyet teorisine göre odak noktalar değiştikçe hesap matematiği değişir.) Odak noktası belirlenmiş koordinat dizgesindeki bir cismin hareket bilgisine cisimde hareket gözlemleniyorsa koordinattaki odak noktasının hareket etmeyip cisim üzerindeki noktanın hareketli olduğu kabul edilirse ulaşılır. İki nokta da hareketli ise odak noktası yine sabit tutacak hesap uygulanır.(Küçük hızlarda Bağıl hesap, büyük hızlarda Lorentz ) Koordinat üzerindeki cisimlerin ya da şekillerin alan ve hacimleri de belli niceliklerle ifade edilerek edilerek uzamsal bütünlüğe ulaşılarak bulunabilir.

Küresel Koordinatlar ve Kullanım Alanları

Küre şeklindeki cisimlerin incelenmesinde küresel koordinatlar kullanılır. (Kapalı) cismin incelenmesinde temel mantık koordinatın sınır belirtecek özellikleri kullanılarak sınırlı cisimleri ifade etmesidir.Küresel koordinat kürenin 3 boyutlu olması sebebiyle x y z ekseni temelinde incelenir.Küresel koordinatta birim uzamın ya da düzlemin döndürülmesi ile taradığı bölgenin küreye dönüşmesi gösterilebilir.Döndürülme miktarı açı kavramıyla belirli bir niceliğe sahip olması sebebiyle küresel koordinat sisteminde açı kullanılır.Küresel koordinat şu şekilde gösterilir.
Buradan elde edilecek x y z bileşenleri şu şekilde gösterilir.

r (yarıçap) doğru parçasını  (teta) açısı düzleminde (180
derece) döndürülmesiyle yarım daire ,yarım dairenin   (fi) açısı düzleminde (360 derece) döndürülmesiyle küre elde edilir. Elde edilen kürenin yüzey alanı ve hacmi bu koordinat yardımıyla hesap edilebilir. Bu hesabın yapılabilmesi için (xyz) bileşenlerinden   bileşenlerine geçmek mantıklıdır. Bu geçiş koordinatlar arasında dönüşüm olarak tanımlanabilir.(Bu geçiş bir fonksiyonun farklı ifadelendirilmesi anlamına gelip özel integrallerin çözümünde kullanılabilir.) Kürenin hacminin eldesi için hacim biriminde işlem yapmamız yani (xyz) bileşenlerinde işlem yapılması , yüzey alanının hesabında ise düzlem seçilmesi yani (xy,xz,yz) düzlemlerinden seçim yapmamız gerekli.  

Hacim dönüşümü bu genel eşitlikle sağlanır. Eşitliğin sağ tarafındaki determinant Jacobian olarak adlandırılır ve değeri   olmaktadır. Denklemi işlevsel olarak yazarsak

Kürenin hacmine ulaşmış oluruz.
Yüzey alanı ise küre diliminin birim yüzey alanı hesaba katılır. Bu alan sonsuz küçüklükteki açılar yardımıyla bulunur. Sonsuz küçüklükteki açılar yani  ve  bize çarpımları ile

integrallenebilir yani sonsuz toplanabilir birim alan “dA” ifadesini elde etmemizi sağlar.

Bu sefer alan hesaplayacağımızdan çift katlı integral hesabı yapılır ve hesapta Jacobian kullanılır.Bu durumda yapmamız gereken integral hesabı şu şekilde olup

Kürenin yüzey alanına ulaşmış oluruz.

Yorum Yap!

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Yorumunuz onaylandıktan sonra yayınlanacaktır.